Este blog está hecho para explicar algunos temas
de los cuales tal vez no tenías mucho conocimiento o no los entendiste muy bien
del todo, espero que estas explicaciones te dejen un aprendizaje nuevo y te
puedan ayudar en algo, para que después puedas resolver este tipo de
ejercicios con mayor facilidad.
El cálculo diferencial es una rama de la matemática que
permite resolver diversos problemas donde el cambio de las variables se puede
modelar en un continuo numérico para determinar, a partir de ello, la variación
de estos elementos en un instante o intervalo específico.
El cálculo diferencial nos sirve para poder llevar acabo todos aquellos
problemas científicos a la vida cotidiana y así poder resolver cualquier
situación compleja de una manera más sencilla.
Un intervalo es un conjunto de números reales que se encuentra comprendido entre dos extremos, a y b. También puede llamarse subconjunto de la recta real. Por ejemplo, los números que satisfagan una condición 1 ≤ x ≤ 5 ó [1;5] implican un intervalo que va desde el 1 hasta el 5, incluyendo a ambos.
¿Qué son los intervalos?
Un intervalo es un conjunto de números reales que se encuentra comprendido entre dos extremos, a y b. También puede llamarse subconjunto de la recta real.
Por ejemplo, los números que satisfagan una condición 1 ≤ x ≤ 5 ó [1;5] implican un intervalo que va desde el 1 hasta el 5, incluyendo a ambos.
Si se toma en cuenta la aplicación del intervalo para observar el comportamiento de una variable, se toma una serie de tiempo y se escoge un intervalo.
Clasificación de los intervalos
Existen 4 tipos de intervalos matemáticos, estos son: abierto, cerrado, semiabierto e infinito.
Intervalo abierto
Un intervalo abierto es aquel que no incluye los extremos entre los cuales está comprendido, pero sí todos los valores ubicados entre estos. Se representa mediante una expresión del tipo a < x < b ó (a;b).
Por ejemplo, si tenemos el intervalo abierto (1;5), tendremos el conjunto de números mayores a 1 y menores que 5. Sin incluir el 1 y el 5.
Representación en la recta real del intervalo abierto (a;b).
Intervalo cerrado
Un intervalo cerrado es aquel que incluye los extremos del intervalo y todos los valores comprendidos entre estos. Se representa con una expresión del tipo a ≤ x ≤ b ó [a;b].
Por ejemplo, si tenemos el intervalo cerrado [1;5], tendremos el conjunto de números mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5. Incluyendo el 1 y el 5.
Representación en la recta real del intervalo cerrado [a;b].
Intervalo semiabierto
Un intervalo semiabierto es aquel que incluye tan solo uno de los extremos de los valores que están entre ellos, de modo que el otro extremo queda excluido. Pueden estar incluidos o excluidos tanto el extremo derecho como el izquierdo.
Se representa con una expresión del tipo a ≤ x < b ó a < x ≤ b, lo que sería [a;b) ó (a;b].
Por ejemplo, si tenemos el intervalo semiabierto [1;5), tendremos un conjunto de números mayores o iguales a 1 y menores a 5. Incluyendo el 1 pero no el 5.
Representación en la recta real del intervalo semiabierto [a;b).
Intervalo infinito
Un intervalo infinito es aquel que tiene un valor infinito en uno o ambos extremos. El extremo que posea el infinito será un extremo abierto. En caso de que ambos extremos sean infinitos, será la recta real.
Se representa con una expresión del tipo a ≤ x ó x ≤ a, lo que sería [a;∞) ó (-∞;a). Estos además pueden contener intervalos cerrados, como [a; ∞).
Por ejemplo, si tenemos el intervalo infinito [1;∞), tendremos un conjunto de números mayores o iguales a 1 en adelante.
Representación en la recta real del intervalo infinito [a;∞).
Ejemplos de intervalos
Para entender mejor el concepto de intervalos, veamos los siguientes ejemplos, junto con su clasificación y números comprendidos:
Intervalo
Tipo
Comprende
(-4;6)
Abierto
Mayores que -4 y menores que 6.
(16;4)
Abierto
Mayores que 16 y menores que 4.
[5;6]
Cerrado
Mayores o iguales a 5 y menores o iguales a 6.
[10;14)
Semiabierto
Mayores o iguales a 10 y menores que 14.
(1;∞)
Infinito
Mayores que 1 en adelante.
Ejemplo: representar el intervalo que va desde –3 hasta +1
Los intervalos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos. Veamos de que se trata cada uno de ellos.
Intervalos Cerrados
Los intervalos cerrados incluyen a los extremos.
Intervalos Abiertos
Los intervalos abiertos no incluyen a los extremos.
Intervalos Semiabiertos
Los intervalos semiabiertos tienen un lado abierto y el otro cerrado. Puede ser abierto por la izquierda:
Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para calcular la derivada de una función. Son un conjunto de procedimientos que permiten con más facilidad el cálculo de la función derivada sin tener que recurrir a la definición de derivada, que a menuda conlleva cálculos tediosos.
- Pasos de derivación:
paso 1: sustituir todas las x de la funcion x ->(x + Δx).
paso 2: se resta a la función actual la función original.
paso 3: dividir función actual entre Δx.
paso 4: calcular el limite de la función resultante cuando Δx se acerca a 0.
Las derivadas sucesivas de una función es el proceso de derivar la función que resulta en cada derivada.
Las derivadas segunda y sucesivas de f(x) se denominan derivadas de orden superior de f(x). Mientras que otras funciones se pueden derivar infinitas veces, como el segundo ejemplo que hemos visto. En algunas funciones se puede deducir una fórmula que nos permite calcular cualquier derivada sucesiva.
Cuando derivamos una función obtenemos la primera derivada f´(x)
Si derivamos esta primera derivada obtenemos la segunda derivada f´´(x)
Si derivamos esta segunda derivada obtenemos la tercera derivada f´´´(x)
Si derivamos esta tercera derivada obtenemos la cuarta derivada f´´´´(x)
Y así sucesivamente.
Las derivadas segunda y sucesivas de f(x) se denominan derivadas de orden superior de f(x).
Ejemplo:
Veamos otro ejemplo:
Algunas funciones se pueden derivar un número limitado de veces:
El primer ejemplo que hemos visto:
Su derivada quinta sería: f´´´´´(x) = 480
Y su derivada sexta: f´6 (x) = 0
ejemplo de primera
derivada
1 Calcular la
primera derivada de la función .
Por ser un polinomio derivamos termino a termino
2 Calcular la
primera derivada de la función .
Por ser un polinomio derivamos termino a termino
Ejemplo de la
segunda derivada
1 Calcular la
segunda derivada de la función .
En el ejemplo anterior calculamos la primera
derivada .
Por ser un polinomio derivamos termino a termino
2 Calcular la
segunda derivada de la función .
En el ejemplo anterior calculamos la primera
derivada .
Por ser un polinomio derivamos termino a termino
Ejemplo de la
tercera derivada
1 Calcular la
tercera derivada de la función .
En el ejemplo anterior calculamos la segunda
derivada .
Por ser un polinomio derivamos termino a termino
2Calcular la tercera
derivada de la función .
En el ejemplo anterior calculamos la segunda
derivada .
Por ser un polinomio derivamos termino a termino
Ejemplo de la
cuarta derivada
1 Calcular la
cuarta derivada de la función .
En el ejemplo anterior calculamos la tercera
derivada .
Por ser una constante solo queda
2 Calcular la
cuarta derivada de la función .
En el ejemplo anterior calculamos la tercera
derivada .
Por ser un polinomio derivamos termino a termino
Ejemplo de la
quinta derivada
1 Calcular la
quinta derivada de la función .
En el ejemplo anterior calculamos la cuarta
derivada .
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