"Continuidad de las funciones"

Continuidad de una función Se dice que una función f (x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes: La función existe en a. Existe límite de f (x) cuando x tiende a a.

Intuitivamente se puede decir que una función es continua cuando en su gráfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la gráfica no tiene "huecos". 

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

-continuidad de un punto: 

Una función f es continua en un punto x = a si cumple las tres condiciones siguientes:

1. La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a.

2.- Existe el límite de f en el punto x = a:

3.- La imagen de a y el límite de la función en a coinciden.

En el caso de que en un punto x = a no se cumpla alguna de las tres condiciones, se dice que la función es discontinua en a.

- continuidad lateral:

La continuidad lateral de una función f estudia si ésta es continua en los laterales de un punto x=a. Por lo tanto, se estudia la continuidad lateral a izquierda o derecha.

Continuidad lateral por la izquierda:

Una función f es continua por la izquierda en a si:

Es decir, si la función se aproxima por el lateral de la izquierda a la imagen de a.

Continuidad lateral por la derecha:

Una función f es continua por la derecha en a si:

Es decir, si la función se aproxima por el lateral de la derecha a la imagen de a.

-continuidad en un intervalo: 

Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].

Se pueden diferenciar cuatro casos, según si el intervalo es abierto (no incluye a y b), cerrado (inlcuye a y b), abierto por la izquierda (no incluye a) o abierto por la derecha (no incluye b).

• Intervalo abierto (a,b).

  La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.

• Intervalo cerrado [a,b]. La función es continua si:
• f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)).
• f es continua en a por la derecha:
  

-f es continua en b por la izquierda:

Intervalo abierto por la izquierda (a,b] (no incluye a). La función es continua si:

• f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)).
• f es continua en b por la izquierda:

Intervalo abierto por la derecha [a,b) (no incluye b). La función es continua si:

• f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)).
• f es continua en a por la derecha:

-continuidad de funciones por partes: 

Las funciones definidas a trozos son continuas si son continuas en todo su dominio, es decir:

• La función es continua en los trozos donde está definida.
• La función es continua en los puntos de división de los trozos.

-propiedades de las funciones continuas: 

Sean f y g dos funciones continuas en el punto x = a, entonces:

• f + g es continua en x = a.
• f · g es continua en x = a.
• f / g es continua en x = a, siempre que g(a) ≠ 0.
• f o g es continua en x = a.
• α · f  es continua en x = a, siendo α un número real.

- Ejemplos: