Antes que nada, queremos explicaros en pocas palabras que son las derivadas. Para hablar mejor de ellas, tenemos que decir que corresponden a la derivada de una función y a su cálculo. De este modo para calcular esta derivada de la función tenemos que calcular el valor correspondiente a un límite en el que se mide la razón a la que cambia la función con respecto a la variable a la que deriva y que representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
en las derivadas
De este modo, considerando una función y = f (x), su derivada en el punto x = x0 corresponde a la tangente del ángulo formado por la intersección entre la línea y la curva de la función y = f (x), es decir, el coeficiente angular de la línea tangente a la curva.
De acuerdo con la relación ∆x / ∆y , tenemos que: a partir de la idea de la existencia del límite. Tenemos que la tasa de cambio instantánea de una función y = f (x) con respecto a x viene dada por la expresión dy / dx .
Notación de la derivada:
las derivadas son el resultado de realizar un proceso de diferenciación sobre una función o una expresión. la notación de la derivada es la forma en la que expresamos derivadas matemáticamente.
Supongamos que f (x) yg (x) sean funciones derivables y cualquier número real. Entonces, las propiedades valen del siguiente modo:
i) Si f (x) = a, entonces f ‘(x) = 0.
ii) Si f (x) = ax, entonces f ‘(x) = a.
iii) (Regla de caída) Si f (x) = x a , entonces f ‘(x) = a · x a – 1 .
iv) (Derivada de la suma) [f (x) + g (x)] ‘= f’ (x) + g ‘(x).
v) [af (x)] ‘= a · f’ (x).
vi) (Regla del producto) [f (x) g (x)] ‘= f’ (x) g (x) + f (x) g ‘(x).
vii) (regla del cociente):
-regla 1 : f(x)= 5 f(x)=0
-regla 2: f(x)=x f’(x)=1
-regla 3: f(x)=2x f’(x)=2
-regla 4: f(x)=x⁴ f(x)=4x
-regla 5: f(x)=9x² f(x)=18x
-Ejemplos:
1.- f(x)=3x⁴
f’(x)=(4) 3x³ =12x³
2.- f(x)=x
f’(x)=1
3.- f(x)= 8x
f’(x)=8
4.- f(x)= 7x
f’(x)=7
5.- f(x)= 5x³+2x²-5x+10
f’(x)=(3)5x+(2)2x-5(1)
15x²+4x-5
Ejemplo: Calcular la derivada de f (x) = 3x 4
Por la regla de derivación:
f ‘(x) = 4 · 3x 4 – 1
f ‘(x) = 12x 3
Ejemplo:
Las derivadas principalmente sirven para calcular un valor en un punto determinado
de una función matemática que varía progresivamente.
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.
Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
Evaluando en y´(-0.01) tenemos:
y´(-0.01)= -0.004
Evaluando para x después de cero tenemos:
y´(0.01)= 0.004
como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).
Teorema del Valor Medio:
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c∈(a,b) tal que:
«.
Ejemplo:
(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)
En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todo valor real siendo la derivada:
Aplicando el teorema:
Pues f(1)=ln 1=0
Y como para x distinto de cero:
Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:
Como queríamos probar.
Teorema de Rolle:
Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c∈(a,b) entre a y b tal que:
F’(c)= 0
Ejemplo:
f(x)=x3+ 4x2-7x-10
en el intervalo [-1, 2]
f'(x)=3x2+ 8x-7
f(-1)=(-1)3+4(-1)2-7(-1)-10=-1+4+7-10=0
f(2)=23+4.22-7.2-10=8+16-14-10=0
Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que:
Donde hay que despreciar la segunda solución por no pertenecer al intervalo considerado
Integrales definidas:
Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b
Buena información
ResponderBorrarEjemplificaciones claras y especificas. Me parece buena tu información.
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